ANALISI E GEOMETRIA 1 (081360)

Corsi di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, Energetica, Meccanica (scaglione STR-Z)

Anno Accademico 2017/18

 

 

Prof. Ettore Lanzarone

Esercitatori Barbara Balossi e Giacinto Ciappetta

 

Avvisi del corso

 

PROSSIMI APPELLI

25 giugno alle 16:30

16 luglio alle 16:30

4 settembre alle 16:30

 

Iscrizione obbligatoria entro la scadenza!

 

Dopo la seconda prova in itinere o qualsiasi appello, si possono scegliere strade diverse in base al voto ottenuto:

- VOTO SUFFICIENTE ACCETTATO: non fare nulla, il voto verrà registrato automaticamente

- VOTO SUFFICIENTE RIFIUTATO: comunicarlo via mail al docente

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI ORALE: presentarsi all’orale, registrando la partecipazione

(si ricorda che l’orale è facoltativo e che in caso di orale il voto finale è la media tra voto dello scritto e dell’orale, quindi se l’orale va peggio dello scritto il voto si abbassa)

- VOTO INSUFFICIENTE SENZA RICHIESTA DI VISIONE: non fare nulla

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

 

 

Servizio di Tutorato

 

Calendario degli incontri di tutorato per il periodo da marzo in avanti.

Seguiranno altri incontri più avanti nell’anno accademico.

 

Tutor: Riccardo Bianchi

Aula: BL.27.06

7 maggio; 17.15-19.15

21 maggio; 17.15-19.15

18 giugno; 17.15-19.15

 

Tutor: Ugo Buslacchi

Aula: BL.27.11

11 maggio; 15:15-17:15

18 maggio; 15:15-17:15

25 maggio; 15:15-17:15

8 giugno; 15:15-17:15

15 giugno; 15:15-17:15

 

Tutor: Andrea Giorgini

Aula: L.07

16 maggio 2018; 16.15-18.15

Aula: L.07

18 maggio 2018; 16.15-18.15

23 maggio 2018; 16.15-18.15

25 maggio 2018; 16.15-18.15

 

Tutor: Barbara Balossi

Aula: L.12

06 giugno 2018; 15.15-19.15

19 giugno 2018; 15.15-19.15

20 giugno 2018; 15.15-19.15

11 luglio 2018; 12.15-16.15

12 luglio 2018; 12.15-16.15

 

 

Orario

 

Orario ufficiale del corso: VISUALIZZA

 

Per le esercitazioni a due squadre:

Prof. Balossi: studenti con cognomi che iniziano per S-U

Prof. Ciappetta: studenti con cognomi che iniziano con V-Z

 

 

Programma svolto (lezioni)

 

LEZIONE 27 SETTEMBRE

Insiemistica: insieme ed elemento; uguaglianza e inclusione; quantificatori; insieme vuoto; insieme delle parti; insiemi numerici; operazioni sugli insiemi e prodotto cartesiano; proprietà delle operazioni e leggi di De Morgan. Logica: predicati ed enunciati; implicazione universale; dimostrazioni e controesempi; proposizione controinversa; dimostrazione per assurdo; irrazionalità di radice di 2; principio di induzione.

 

LEZIONE 2 OTTOBRE

Principio di induzione: applicazione alla disuguaglianza di Bernoulli. Fattoriale, coefficiente binomiale e Formula di Newton. Campo ordinato. Inadeguatezza di Q a coprire la retta. Insiemi limitati superiormente e inferiormente; estremo superiore e inferiore; massimo e minimo. Proprietà dell'estremo superiore; definizione assiomatica di R.

 

LEZIONE 4 OTTOBRE

Intervalli. Insiemi infiniti; cardinalità; numerabilità; potenza del continuo. Successioni: definizione: successione limitata; proprietà valida definitivamente; successioni convergenti; limite di una successione e unicità del limite; successioni divergenti e irregolari.

 

LEZIONE 9 OTTOBRE

Infinitesimi e infiniti. Successioni convergenti per eccesso e difetto. Successioni monotone: teorema di convergenza delle successioni monotone limitate; divergenza delle soluzioni monotone e illimitate. Algebra dei limiti. Teorema di permanenza del segno (nelle due forme).

 

LEZIONE 10 OTTOBRE

Teorema del confronto. Esempi di calcolo; limite del rapporto di polinomi. Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito; forme di indecisione. Successione di (1+1/n)^n e costante di Nepero; altri limiti a partire dal limite notevole della costante di Nepero. Confronti di infiniti e infinitesimi; successioni asintotiche e relazione di asintotico.

 

LEZIONE 11 OTTOBRE

Gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale); criterio del rapporto. Numeri complessi: motivazione e definizione; forma algebrica; piano di Gauss e rappresentazione grafica di un numero complesso; somma e sottrazione tra numeri complessi; prodotto tra numeri complessi; C come campo non ordinato.

 

LEZIONE 16 OTTOBRE

Numeri complessi: complesso coniugato, razionalizzazione, modulo e relative proprietà; esempi di equazione con i numeri complessi; moltiplicazione e divisione per i; forma trigonometrica; passaggio da forma algebrica a trigonometrica e viceversa; formula di De Moivre per prodotto e divisione. Numeri complessi: potenza; radici n-esime; equazioni algebriche e teorema; fondamentale dell'algebra.

 

LEZIONE 17 OTTOBRE

Numeri complessi: formula di Eulero; forma esponenziale; identità di Eulero. Funzioni reali di variabile reale: definizione; dominio; grafico di funzione; funzioni limitate, simmetriche, periodiche e monotone; funzioni composte; funzioni inverse. Limiti: definizione successionale; teorema di unicità.

 

LEZIONE 18 OTTOBRE

Limiti: asintoti orizzontali, verticali e obliqui; continuità; tipi di discontinuità; non esistenza del limite; definizione topologica; limiti notevoli.

 

LEZIONE 23 OTTOBRE

Limiti: teorema del confronto; teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema di permanenza del segno per funzioni continue; asintotici e loro significato grafico. Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema degli zeri.

 

LEZIONE 24 OTTOBRE

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi; teorema di monotonia; continuità e invertibilità. Derivata di una funzione: definizione; significato geometrico e fisico; derivate delle funzioni elementari con dimostrazione per alcune di esse; algebra delle derivate (regole di calcolo).

 

LEZIONE 25 OTTOBRE

Derivata di una funzione: derivata di una funzione composta; derivata della funzione inversa e significato geometrico; continuità e derivabilità; punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi. Ottimizzazione: punti di massimo e di minimo; teorema di Fermat; tipi di punti a derivata nulla.

 

LEZIONE 30 OTTOBRE

Derivata e ottimizzazione: teorema di Lagrange; interpretazione e controesempi del teorema di Lagrange; teorema di Rolle; teorema di Cauchy; test di monotonia; studio di funzione fino alla derivata prima.

 

LEZIONE 31 OTTOBRE

Teorema di De L’Hospital. Derivata di una funzione: convessità e retta tangente; flesso. Studio di funzione completo.

 

LEZIONE 6 NOVEMBRE

Differenziale. Simbolo “o piccolo”. Derivata di una funzione: applicazioni del teorema di De L’Hospital e precauzioni d’uso; derivata seconda e curvatura; circonferenza che approssima localmente una funzione; definizioni di concavità e convessità; convessità e derivate.

 

LEZIONE 7 NOVEMBRE

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: definizione; verifica che siano i migliori approssimanti; resto secondo Peano; applicazione al calcolo dei limiti; proprietà degli “o piccolo”; Resto secondo Lagrange; uso del resto secondo Lagrange per valutare l’errore di approssimazione.

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di monotonia.

 

LEZIONE 8 NOVEMBRE

Calcolo integrale: somme di Cauchy-Riemann; funzione integrabile; integrale; interpretazione geometrica; funzione continua integrabile; funzione monotona e limitata è integrabile; funzione definita da un numero finito di tratti integrabili è integrabile; primitiva di una funzione; teorema fondamentale del calcolo ingrale.

 

LEZIONE 20 NOVEMBRE

Calcolo integrale: proprietà dell'integrale; teorema della media integrale; valore medio e valore efficace; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.

 

LEZIONE 21 NOVEMBRE

Calcolo integrale: integrazione di funzioni razionali fratte; integrazione di funzioni discontinue; integrale definito e indefinito; insiemi a misura nulla; funzione integrabile in senso improprio: definizione (funzione illimitata e dominio illimitato); integrale convergente, divergente e inesistente; analisi di 1/x^a.

 

LEZIONE 27 NOVEMBRE

Funzione integrale: definizione; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e continuità della funzione integrale. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: problema di Cauchy; integrale generale e particolare.

 

LEZIONE 28 NOVEMBRE

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: risoluzione delle equazioni a variabili separabili; risoluzione delle equazioni lineari col metodo di variazione delle costanti; considerazioni qualitative sulla continuità dell’integrale.

 

LEZIONE 29 NOVEMBRE

Vettori: definizione; modulo di un vettore; operazioni sui vettori (somma, sottrazione, prodotto tra scalare e vettore) e loro proprietà; versore; vettori nel piano e nello spazio; versori; rappresentazione cartesiana dei vettori. Combinazione lineare di vettori; dipendenza e indipendenza lineare; verifica della dipendenza/indipendenza lineare.

 

LEZIONE 4 DICEMBRE

Espressione di un qualsiasi vettore dello spazio come combinazione lineare di 3 vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare e prodotto vettoriale e loro proprietà; proiezione di un vettore; prodotto misto; significato geometrico del prodotto vettoriale e del prodotto misto.

 

LEZIONE 5 DICEMBRE

Retta: definizione; forma cartesiana e parametrica; parametri e coseni direttori; conversione tra forma parametrica e cartesiana; rette parallele e perpendicolari.

 

LEZIONE 11 DICEMBRE

Piano: definizione; forma cartesiana e parametrica; parametri direttori; piani paralleli e ortogonali; retta di intersezione tra piani. Distanze: punto-piano; punto-retta.

 

LEZIONE 12 DICEMBRE

Distanze: retta-piano; piano-piano; retta-retta. Spazi vettoriali: definizione astratta; spazi Rn; sottospazio; vettori linearmente dipendenti e indipendenti; base di uno spazio vettoriale; componenti scalari; dimensione; base canonica di Rn; dimensione di un sottospazio.

 

LEZIONE 13 DICEMBRE

Prodotto scalare in Rn; modulo di un vettore e sue proprietà (disuguaglianza triangolare e di Cauchy-Schwarz); distanza tra vettori. Spazi vettoriali con prodotto scalare: base ortonormale. Cambiamento di coordinate tra basi.

 

LEZIONE 18 DICEMBRE

Curve in spazi euclidei: parametrizzazione; limiti e continuità; arco di curva e sostegno; curva chiusa; curva semplice; curva piana; parametrizzazioni equivalenti; derivata; curva regolare; versore tangente. Esempi di curve.

 

LEZIONE 19 DICEMBRE

Lunghezza di un arco di curva; ascissa curvilinea. Integrale di linea prima specie: definizione; indipendenza degli integrali di prima specie dalla parametrizzazione.

 

LEZIONE 20 DICEMBRE

Geometria differenziale delle curve: terna fondamentale; equazioni di Frenet.

 

 

Testi degli esercizi (esercitazioni)

 

ESERCITAZIONE 1 – 18 SETTEMBRE

Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 2 – 19 SETTEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 3 – 20 SETTEMBRE

Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 4 – 22 SETTEMBRE

Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 5 – 26 SETTEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 6 – 29 SETTEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 7 – 6 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 8 – 10 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 9 – 13 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 10 – 17 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 11 – 20 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 12 – 24 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 13 – 27 OTTOBRE

Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 14 – 31 OTTOBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 15 – 3 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 16 – 7 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 17 – 10 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 18 – 17 NOVEMBRE

Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 19 – 21 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 20 – 22 NOVEMBRE

Prof. Balossi (continua ad testo esercitazione 19)

 

ESERCITAZIONE 21 – 24 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 22 – 28 NOVEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 23 – 1 DICEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 24 – 5 DICEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Ciappetta DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 25 – 12 DICEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 26 – 15 DICEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 27 – 19 DICEMBRE

Prof. Balossi DOWNLOAD

 

 

Programma del corso

 

1. Numeri reali e complessi

Numeri razionali e numeri reali. Irrazionalità di radice di 2. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto, formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.

 

2. Limiti e continuità

Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotòne, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Funzioni monotòne e loro principali proprietà.

 

3. Calcolo differenziale

Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra delle derivate. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.

 

4. Calcolo integrale

Integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrali indefiniti. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza.

 

5. Equazioni differenziali ordinarie

Integrale generale delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine.

 

6. Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio

Lo spazio euclideo Rn. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Rn. Prodotto vettoriale e area, prodotto misto e volume nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio.

 

7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea

Limiti e derivate di funzioni vettoriali di una variabile. Curve nel piano e nello spazio: forma parametrica, lunghezza di una curva, parametro d’arco. Integrali di linea di prima specie. Versori tangente, normale, binormale (terna intrinseca) e piani coordinati. Curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. Applicazioni fisiche.

 

 

Temi d’esame

 

Esami di questo anno accademico 2017/18

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

 

Esami dello scorso anno accademico 2016/17

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Luglio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Settembre: DOWNLOAD

 

Esami dell’anno accademico 2015/16

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Luglio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Settembre: DOWNLOAD

 

Altri temi d’esame degli anni precedenti

Sono disponibili alcuni temi d’esame degli anni passati: DOWNLOAD

 

 

Testi consigliati

 

Testo:

Il testo di riferimento è:

Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare)

Zanichelli Editore; anno 2014; ISBN 9788808254214. LINK

 

Eserciziario:

L’eserciziario di riferimento è:

Salsa, Squellati

Esercizi di Analisi Matematica 1

Zanichelli editore; anno 2011; ISBN: 9788808218940. LINK

 

Tuttavia, altri testi vanno ugualmente bene.

Per la lista completa si veda la Pagina del Corso sul Sito del Politecnico.

 

 

Ricevimento studenti

 

Il ricevimento avviene su appuntamento, contattando per mail il docente.

Il ricevimento si terrà sia presso l'ufficio del docente (CNR-IMATI, Via Corti 12) che presso il campus Bovisa.

 

 

Modalità e regolamento esami

 

MODALITÀ D’ESAME

 

Sono previsti 4 appelli d'esame, nelle date stabilite dal calendario accademico (una in gennaio-febbraio, due in giugno-luglio, una a settembre). Sono inoltre previste 2 prove in itinere (una nell'interruzione di metà corso e l'altra in gennaio-febbraio).

L'esame può essere superato sostenendo con votazione sufficiente entrambe le prove in itinere oppure uno degli appelli. Solo chi supera la prima prova in itinere può sostenere la seconda prova.

 

Ciascuna prova in itinere si compone di due parti:

- Prima parte: una domanda alla quale rispondere in modo articolato (per esempio: enunciare e dimostrare un teorema, scrivere una definizione, fornire un esempio o un controesempio).

- Seconda parte: due esercizi.

 

Ciascun appello si compone di due parti:

- Prima parte: due domande alle quali rispondere in modo articolato (per esempio: vedi sopra).

- Seconda parte: quattro esercizi.

 

La prima parte svolta viene ritirata prima dello svolgimento della seconda parte.

 

I punteggi sono così suddivisi:

Prima parte: 4/16 (prove in itinere) oppure 8/32 (appelli).

Seconda parte: 12/16 (prove in itinere) oppure 24/32 (appelli).

 

La prova risulterà sufficiente se il voto della prima parte sarà pari ad almeno 2 (prove in itinere) o 4 (appelli) e quello della seconda parte pari ad almeno 7 (prove in itinere) o 14 (appelli).

 

A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova scritta dell'appello, potrà essere convocato a sostenere  una prova orale.

 

 

REGOLAMENTO ESAMI

 

Lo studente deve iscriversi ad ogni appello che intende sostenere e questo avviene esclusivamente tramite segreteria e servizi on line.

Se per qualsiasi motivo lo studente si iscrive tardivamente (o non risulta iscritto), potrà essere ammesso a sostenere la prova scritta solo se ci sarà posto in aula. Pertanto ogni studente è invitato a iscriversi con largo anticipo e a controllare qualche giorno prima dell'appello l'effettiva iscrizione.

 

Non è consentito l’uso della calcolatrice o di qualsiasi strumento elettronico.

All’ingresso in aula gli studenti lasceranno tutto a bordo aula e porteranno con se solo il materiale per scrivere (senza astuccio) e un documento di riconoscimento con la fotografia.

Non sono ammessi fogli; sia i fogli di brutta che quelli da riconsegnare verranno forniti in aula.

 

Verrà consegnato un plico contenente le due parti.

Dovrà essere restituita la prima dopo 20 minuti (circa, potrà variare e verrà comunque comunicato a inizio esame) e la seconda alla fine.

 

Ci si può ritirare in qualsiasi momento. Uno studente ritirato è come se non fosse mai venuto a sostenere l’esame, non ci sono penalità di alcun tipo e si può partecipare a qualsiasi appello.

 

Anche se superfluo, si ricorda che chiunque venga sorpreso a copiare o con bigliettini verrà allontanato dall’aula e la prova annullata.

 

 

TEOREMI RICHIESTI CON DIMOSTRAZIONE:

 

1 Numeri reali e complessi: irrazionalità di radice di 2, formula di De Moivre, radici n-sime di un numero complesso.

 

2 Limiti e continuità: unicità del limite, limiti di successioni monotone, permanenza del segno, continuità della funzione composta, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.

 

3 Calcolo differenziale: continuità delle funzioni derivabili, algebra delle derivate (somma e prodotto), teorema di Fermat, teorema di Lagrange, teorema di Taylor con resto secondo Peano.

 

4 Calcolo integrale: formula di integrazione per parti, formula di integrazione per sostituzione, teorema della media integrale, teorema e formula fondamentale del calcolo integrale, continuità della funzione integrale.

 

5 Equazioni differenziali: Soluzione generale di un’equazione lineare del primo ordine in forma normale (caso omogeneo e caso non-omogeneo).

 

6 Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Rn, formula della distanza tra un punto e un piano.

 

7 Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea: indipendenza degli integrali di prima specie dalla parametrizzazione.