ANALISI MATEMATICA 1 (082740)

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica, Informatica, delle Telecomunicazioni, dell'Automazione e Elettrica

(scaglione SD-Z)

Anno Accademico 2017/18

 

 

Prof. Ing. Ettore Lanzarone

Esercitatore Dr. Ing. Andrea Montanino

 

Avvisi del corso

 

APPELLO 28 AGOSTO:

 

Ore 8:30 in aula da confermare.

Iscriversi entro la scadenza; non verranno accettate iscrizioni dopo la scadenza.

 

Voti: VERRANNO PUBBLICATI QUI

 

Iscriversi al LINK CHE VERRA’ PUBBLICATO per la partecipazione alla visione compiti e/o per sostenere prova orale.

 

 

Dopo la seconda prova in itinere o qualsiasi appello, si possono scegliere strade diverse in base al voto ottenuto:

- VOTO SUFFICIENTE ACCETTATO: non fare nulla, il voto verrà registrato automaticamente

- VOTO SUFFICIENTE RIFIUTATO: comunicarlo via mail al docente

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI ORALE: presentarsi all’orale, registrando la partecipazione

(si ricorda che l’orale è facoltativo e che in caso di orale il voto finale è la media tra voto dello scritto e dell’orale, quindi se l’orale va peggio dello scritto il voto si abbassa)

- VOTO INSUFFICIENTE SENZA RICHIESTA DI VISIONE: non fare nulla

- VOTO SUFFICIENTE E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

 

 

Tutorato

 

L’ultimo incontro di tutorato si è tenuto il 17 luglio.

 

 

Informazioni utili dalla Facoltà

 

Verranno pubblicati qui gli avvisi per gli studenti che la Facoltà invierà di volta in volta al docente o agli esercitatori.

 

 

Orario

 

Orario ufficiale del corso: VISUALIZZA

 

 

Programma svolto (lezioni)

 

LEZIONE 29 SETTEMBRE MATTINA

Insiemistica: insieme ed elemento; uguaglianza e inclusione; quantificatori; insieme vuoto; insieme delle parti; insiemi numerici; operazioni sugli insiemi e prodotto cartesiano; proprietà delle operazioni e leggi di De Morgan. Logica: predicati ed enunciati; implicazione universale; dimostrazioni e controesempi; proposizione controinversa; dimostrazione per assurdo; irrazionalità di radice di 2; principio di induzione.

 

LEZIONE 29 SETTEMBRE POMERIGGIO

Principio di induzione: applicazione alla disuguaglianza di Bernoulli. Fattoriale, coefficiente binomiale e Formula di Newton. Campo ordinato. Inadeguatezza di Q a coprire la retta. Insiemi limitati superiormente e inferiormente; estremo superiore e inferiore; massimo e minimo. Proprietà dell'estremo superiore; definizione assiomatica di R.

 

LEZIONE 2 OTTOBRE

Intervalli. Insiemi infiniti; cardinalità; numerabilità; potenza del continuo. Successioni: definizione: successione limitata; proprietà valida definitivamente; successioni convergenti; limite di una successione e unicità del limite; successioni divergenti e irregolari.

 

LEZIONE 3 OTTOBRE (3 ore)

Infinitesimi e infiniti. Successioni convergenti per eccesso e difetto. Successioni monotone: teorema di convergenza delle successioni monotone limitate; divergenza delle soluzioni monotone e illimitate. Algebra dei limiti. Teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema del confronto. Esempi di calcolo; limite del rapporto di polinomi. Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito; forme di indecisione.

 

LEZIONE 6 OTTOBRE

Successione di (1+1/n)^n e costante di Nepero; altri limiti a partire dal limite notevole della costante di Nepero. Confronti di infiniti e infinitesimi; successioni asintotiche e relazione di asintotico; gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale); criterio del rapporto.

 

LEZIONE 9 OTTOBRE

Numeri complessi: motivazione e definizione; forma algebrica; piano di Gauss e rappresentazione grafica di un numero complesso; somma e sottrazione tra numeri complessi; prodotto tra numeri complessi; C come campo non ordinato; complesso coniugato, razionalizzazione, modulo e relative proprietà. Esempi di equazione con i numeri complessi; moltiplicazione e divisione per i.

 

LEZIONE 13 OTTOBRE (MATTINA)

Numeri complessi: forma trigonometrica; passaggio da forma algebrica a trigonometrica e viceversa; formula di De Moivre per prodotto e divisione; potenza; radici n-esime; equazioni algebriche e teorema fondamentale dell'algebra.

 

LEZIONE 13 OTTOBRE (POMERIGGIO)

Numeri complessi: formula di Eulero; forma esponenziale; identità di Eulero. Funzioni reali di variabile reale: definizione; dominio; grafico di funzione; funzioni limitate, simmetriche, periodiche e monotone; funzioni composte; funzioni inverse. Limiti: definizione successionale.

 

LEZIONE 16 OTTOBRE

Limiti: teorema di unicità; asintoti orizzontali, verticali e obliqui; continuità; tipi di discontinuità; non esistenza del limite; definizione topologica; limiti notevoli.

 

LEZIONE 20 OTTOBRE

Limiti: teorema del confronto; teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema di permanenza del segno per funzioni continue; asintotici e loro significato grafico. Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema degli zeri.

 

LEZIONE 23 OTTOBRE

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi; teorema di monotonia; continuità e invertibilità. Derivata di una funzione: definizione; significato geometrico e fisico; derivate delle funzioni elementari con dimostrazione per alcune di esse; algebra delle derivate (regole di calcolo).

 

LEZIONE 24 OTTOBRE

Derivata di una funzione: algebra delle derivate (regole di calcolo); derivata di una funzione composta; derivata della funzione inversa e significato geometrico; continuità e derivabilità; punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi.

 

LEZIONE 27 OTTOBRE

Ottimizzazione: punti di massimo e di minimo; teorema di Fermat; tipi di punti a derivata nulla. Derivata e ottimizzazione: teorema di Lagrange; interpretazione e controesempi del teorema di Lagrange; teorema di Rolle; teorema di Cauchy; test di monotonia; studio di funzione fino alla derivata prima.

 

LEZIONE 30 OTTOBRE

Teorema di De L’Hospital. Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di monotonia. Derivata di una funzione: applicazioni del teorema di De L’Hospital e precauzioni d’uso; derivata seconda e curvatura; circonferenza che approssima localmente una funzione; definizioni di concavità e convessità.

 

LEZIONE 3 NOVEMBRE (mattina)

Derivata di una funzione: convessità e derivate; convessità e retta tangente; flesso. Studio di funzione completo. Differenziale. Simbolo “o piccolo”.

 

LEZIONE 3 NOVEMBRE (pomeriggio)

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: definizione; verifica che siano i migliori approssimanti; resto secondo Peano; applicazione al calcolo dei limiti; proprietà degli “o piccolo”.

 

LEZIONE 6 NOVEMBRE

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: resto secondo Lagrange; uso del resto secondo Lagrange per valutare l’errore di approssimazione. Calcolo integrale: somme di Cauchy-Riemann; funzione integrabile; integrale; interpretazione geometrica; funzione continua integrabile; funzione monotona e limitata è integrabile; funzione definita da un numero finito di tratti integrabili è integrabile.

 

LEZIONE 17 NOVEMBRE (mattina)

Calcolo integrale: primitive di una funzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; proprietà dell'integrale; teorema della media integrale; valore medio e valore efficace; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.

 

LEZIONE 17 NOVEMBRE (pomeriggio)

Calcolo integrale: integrazione di funzioni razionali fratte; integrazione di funzioni discontinue; integrale definito e indefinito; insiemi a misura nulla.

 

LEZIONE 20 NOVEMBRE

Calcolo integrale: funzione integrabile in senso improprio: definizione (funzione illimitata e dominio illimitato); integrale convergente, divergente e inesistente; analisi di 1/x^a. Funzione integrale: definizione; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e continuità della funzione integrale.

 

LEZIONE 24 NOVEMBRE (mattina)

Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.

 

LEZIONE 24 NOVEMBRE (pomeriggio)

Correzione della prova in itinere e discussione.

 

LEZIONE 27 NOVEMBRE

Serie: definizione; carattere della serie; condizione necessaria per la convergenza della serie; serie geometrica, armonica e di Mengoli; resto della serie; serie a termini non negativi.

 

LEZIONE 1 DICEMBRE (mattina)

Serie a termini non negativi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice. Serie a termini di segno variabile: convergenza e convergenza assoluta; legame tra convergenza e convergenza assoluta.

 

LEZIONE 1 DICEMBRE (pomeriggio)

Esempi ed esercizi sulle serie.

 

LEZIONE 4 DICEMBRE

Serie a termini di segno alternato: definizione; criterio di Leibnitz. Serie di funzioni: definizione; serie di Taylor e Mc Laurin.

 

LEZIONE 11 DICEMBRE

Serie di funzioni: serie di Mc Laurin di esponenziale, seno e coseno, e loro convergenza su tutto il campo dei Reali; serie di potenze; serie geometrica ed altri esempi convergenti nell’intervallo (-1;1).

 

LEZIONE 15 DICEMBRE (mattina)

Esempi ed esercizi sulle serie.

 

LEZIONE 15 DICEMBRE (pomeriggio)

Esempi ed esercizi sulle serie.

 

LEZIONE 18 DICEMBRE

Lezione di ripasso con svolgimento di temi d’esame

 

 

Testi degli esercizi (esercitazioni)

 

ESERCITAZIONI 1–5 (RIPASSO): download

ESERCITAZIONI 6–7: download

ESERCITAZIONE 8: download

ESERCITAZIONE 9: download

ESERCITAZIONE 10: download

ESERCITAZIONE 11: download

ESERCITAZIONE 12: download

ESERCITAZIONE 13: download

ESERCITAZIONE 14: download

ESERCITAZIONE 15: download

 

 

Programma del corso

 

1 - Insiemi Numerici

Richiami sui numeri naturali, interi, razionali. Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, formula di Newton per la potenza n-sima di un binomio(*). Numeri reali. Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi.

Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso(*). Teorema fondamentale dell’Algebra.

 

2 - Funzioni reali di una variabile reale

 

2.1 Generalità

Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione.

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione composta, funzione inversa.

Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche.

Funzioni elementari.

 

2.2 Limiti

Definizione di limite di successione. Unicità del limite(*). Teorema della permanenza del segno. Limitatezza di una successione convergente(*). Teorema del confronto(*).

Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Esistenza del limite per successioni monotone(*). Il numero e.

Limiti notevoli (* dimostrazione di lim n ®¥ (sin 1/n)/(1/n)=1).

Successioni infinite, infinitesime e loro confronto: uso dei simboli di “asintotico” e di “o piccolo”.

Limiti di funzioni: definizione per successioni e definizione topologica. Teoremi di unicità del limite e del confronto. Algebra dei limiti, limite di funzione composta.

 

2.3 Continuità

Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione.

Discontinuità delle funzione monotone.

Funzioni continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri (*) e dei valori intermedi. Asintoti. Continuità di funzione inversa.

 

2.4 Calcolo differenziale

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Derivabilità e continuità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*), teorema di Lagrange (*). Conseguenze del teorema di Lagrange (*). Teorema di De L’Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano(*) e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Applicazione della formula di Taylor al riconoscimento dei punti di massimo e minimo locale. Derivabilità di funzione inversa. Studio del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.

 

2.5 Calcolo integrale

Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I (*) e II (*) teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane.

 

2.6 Integrali generalizzati

Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni allo studio delle funzioni integrali.

 

3– Serie

 

3.1 Serie numeriche

Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto(*) (e del confronto asintotico), del rapporto, della radice(*). Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta(*). Criterio di Leibnitz per le serie a termini di segno alterno.

 

N.B. Dei teoremi segnati con (*) è richiesta la dimostrazione.

 

 

Temi d’esame

 

ESAMI ANNO ACCADEMICO 2017/18

Prima prova in itinere: DOWNLOAD

Seconda prova in itinere: DOWNLOAD

Appello di febbraio (versione A, la B è identica con gli esercizi scambiati): DOWNLOAD

 

Sono accessibili sul sito beep della Prof. Maluta (anche per chi non è iscritto al suo corso) temi d’esame degli anni passati.

Si vedano in particolare le cartelle:

- Temi d’esame (2013_14)

- temi d’esame AA precedenti

I docenti dei diversi scaglioni alfabetici preparano insieme l’esame; quindi i temi d’esame sopra indicati danno un’idea della tipologia di esercizi e domande.

 

 

Testi consigliati

 

Testo:

Il testo di riferimento è:

Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare)

Zanichelli Editore; anno 2014; ISBN 9788808254214. LINK

 

Eserciziario:

L’eserciziario di riferimento è:

Salsa, Squellati

Esercizi di Analisi Matematica 1

Zanichelli editore; anno 2011; ISBN: 9788808218940. LINK

 

Tuttavia, altri testi vanno ugualmente bene.

Per la lista completa si veda la Pagina del Corso sul Sito del Politecnico.

 

 

Ricevimento studenti

 

Il ricevimento avviene su appuntamento, contattando per mail il docente.

Il ricevimento si terrà sia presso l'ufficio del docente (CNR-IMATI, Via Corti 12) che presso il campus Bovisa.

 

 

Modalità e regolamento esami

 

L’esame può essere sostenuto “in itinere” oppure presentandosi a uno degli appelli d’esame previsti in febbraio, luglio e settembre. Per le prove in itinere e per gli appelli d’esame è obbligatoria   l’iscrizione.

 

Gli studenti con OFA totali non potranno partecipare né alle prove in itinere né agli appelli d’esame prima di aver superato il test di ammissione nelle apposite prove di recupero.

 

Il candidato deve presentarsi ad ogni prova munito di un documento di identità valido.

 

L’esame “in itinere” consiste di due prove scritte, la prima nel periodo di interruzione delle lezioni a novembre, la seconda dopo la fine dei corsi, e di un’eventuale prova orale da sostenersi dopo la II prova in itinere.

L’esame “finale” consiste di una prova scritta, su tutto il programma del corso, e di una eventuale prova orale.

 

In ogni prova scritta verranno proposti sei quesiti a risposta multipla (Parte A), alcuni esercizi da svolgere in dettaglio (Parte B) e alcune domande di teoria (Parte T).

 

Non è consentito consultare testi, né usare calcolatrici, né fogli portati da fuori.

E’ consentito usare il foglio con le formule di McLaurin scaricabile qui: DOWNLOAD

Questo foglio verrà proiettato in aula durante lo svolgimento dell’esame per permetterne la visione agli studenti, o in alternativa ne saranno stampate alcune copie distribuite su richiesta dello studente.

 

Ogni prova scritta verrà valutata in trentesimi, distribuiti nel modo seguente, con soglie come precisato per la correzione delle altre parti del compito:

Parte A: punteggio 6/30; soglia minima per passare la prova 2/30

Parte B: punteggio 17/30; soglia minima per passare la prova 8/30

Parte T: punteggio 10/30: soglia minima per passare la prova 4/30

Totale: 33/30

 

Nella parte A, ogni risposta giusta ad un quesito vale 1 punto, ogni risposta errata -1/4 di punto, ogni risposta in bianco vale 0 punti.

 

Dopo la seconda prova in itinere o qualsiasi appello, si possono scegliere strade diverse in base al voto ottenuto:

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) ACCETTATO: non fare nulla, il voto verrà registrato automaticamente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) RIFIUTATO: comunicarlo via mail al docente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI ORALE: presentarsi all’orale, registrando la partecipazione

(si ricorda che l’orale è facoltativo e che in caso di orale il voto finale è la media tra voto dello scritto e dell’orale, quindi se l’orale va peggio dello scritto il voto si abbassa)

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) SENZA RICHIESTA DI VISIONE: non fare nulla

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- ESAME DA COMPLETARE (“ORALE”): lo studente deve necessariamente sostenere un colloquio per ottenere la sufficienza; la mancata partecipazione alla visione dei compiti per sostenere l’orale equivale ad un voto insufficiente.

 

NB: non è possibile sostenere orali integrativi per arrivare alla sufficienza nel caso di voto insufficiente, a meno che non sia indicato “ORALE”.

 

NB: per la prima prova in itinere, la soglia somma di 14/30 dà l’ammissione alla seconda prova. Il voto finale (media dei due voti) deve essere comunque ≥ 18 perché la prova sia sufficiente.

 

Gli studenti che, dopo essersi iscritti ad una prova scritta, decidessero di non parteciparvi sono tenuti a cancellare l’iscrizione alla prova medesima.

 

Si ricorda che dei teoremi indicati con (*) nel programma è richiesta anche la dimostrazione.