ANALISI MATEMATICA 1 (082740)

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica, Informatica, delle Telecomunicazioni, dell'Automazione e Elettrica

(scaglione SD-Z)

Anno Accademico 2018/19

 

 

Prof. Ing. Ettore Lanzarone

Esercitatore Dr. Ing. Andrea Montanino

 

Avvisi del corso

 

Per la divisione tra lezione ed esercitazione delle prossime volte si vedano gli argomenti delle lezioni e la lista delle esercitazioni qui sotto.

 

Prima prova in itinere:

·         Voti di tutte le parti: download

·         Visione della prova: parte di teoria durante la lezione del 23 mattina; parte di esercizi durante l’esercitazione del 23 pomeriggio.

 

Seconda prova in itinere:

·         21 gennaio 2019 alle 15:00 (iscrizione obbligatoria entro 16 gennaio 2018, riservata a chi ha sostenuto e passato la prima prova in itinere o a chi ha solo la seconda parte del programma per un numero di crediti ridotto)

 

 

Servizio di Tutorato

 

Il Politecnico prevede un servizio di tutorato per ogni corso.

Appena verrà attivato, verranno riportate qui le informazioni.

 

 

Orario

 

Orario ufficiale del corso: VISUALIZZA

Solitamente, lunedì e martedì si tengono le lezioni, e venerdì le esercitazioni.

La scansione tra lezioni ed esercitazioni potrà comunque variare di settimana in settimana; controllare negli avvisi del corso.

 

 

Programma svolto (lezioni)

 

LEZIONE 17 SETTEMBRE

Insiemistica: insieme ed elemento; uguaglianza e inclusione; quantificatori; insieme vuoto; insieme delle parti; insiemi numerici; operazioni sugli insiemi e prodotto cartesiano; proprietà delle operazioni e leggi di De Morgan.

Logica: predicati ed enunciati; implicazione universale; dimostrazioni e controesempi.

 

LEZIONE 18 SETTEMBRE (3h)

Logica: proposizione controinversa; dimostrazione per assurdo; irrazionalità di radice di 2; principio di induzione; applicazione del principio di induzione alla disuguaglianza di Bernoulli; fattoriale, coefficiente binomiale e Formula di Newton.

Campo ordinato. Inadeguatezza di Q a coprire la retta. Insiemi limitati superiormente e inferiormente; estremo superiore e inferiore; massimo e minimo. Proprietà dell'estremo superiore; definizione assiomatica di R. Intervalli.

 

LEZIONE 21 SETTEMBRE

Insiemi infiniti; cardinalità; numerabilità; potenza del continuo. Successioni: definizione: successione limitata; proprietà valida definitivamente; successioni convergenti; limite di una successione e unicità del limite; successioni divergenti e irregolari.

Infinitesimi e infiniti. Successioni convergenti per eccesso e difetto. Successioni monotone: teorema di convergenza delle successioni monotone limitate; divergenza delle soluzioni monotone e illimitate.

 

LEZIONE 24 SETTEMBRE

Algebra dei limiti. Teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema del confronto. Esempi di calcolo; limite del rapporto di polinomi. Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito; forme di indecisione.

Successione di (1+1/n)^n e costante di Nepero.

 

LEZIONE 1 OTTOBRE

Altri limiti a partire dal limite notevole della costante di Nepero. Confronti di infiniti e infinitesimi; successioni asintotiche e relazione di asintotico; gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale); criterio del rapporto.

Numeri complessi: motivazione e definizione; forma algebrica; piano di Gauss e rappresentazione grafica di un numero complesso; somma e sottrazione tra numeri complessi; prodotto tra numeri complessi; C come campo non ordinato.

 

LEZIONE 5 OTTOBRE MATTINA

Numeri complessi: complesso coniugato, razionalizzazione, modulo e relative proprietà. Esempi di equazione con i numeri complessi; moltiplicazione e divisione per i; forma trigonometrica; passaggio da forma algebrica a trigonometrica e viceversa.

 

LEZIONE 5 OTTOBRE POMERIGGIO

Numeri complessi: formula di De Moivre per prodotto e divisione; potenza; radici n-esime; equazioni algebriche e teorema fondamentale dell'algebra; formula di Eulero; forma esponenziale; identità di Eulero.

 

LEZIONE 8 OTTOBRE

Funzioni reali di variabile reale: definizione; dominio; grafico di funzione; funzioni limitate, simmetriche, periodiche e monotone; funzioni composte; funzioni inverse.

Limiti: definizione successionale.

 

LEZIONE 9 OTTOBRE (3h)

Limiti: teorema di unicità; asintoti orizzontali, verticali e obliqui; continuità; tipi di discontinuità; non esistenza del limite; definizione topologica; limiti notevoli; teorema del confronto; teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema di permanenza del segno per funzioni continue; asintotici e loro significato grafico.

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema degli zeri.

 

LEZIONE 15 OTTOBRE

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi; teorema di monotonia; continuità e invertibilità.

Derivata di una funzione: definizione; significato geometrico e fisico.

 

LEZIONE 16 OTTOBRE (3h)

Derivata di una funzione: derivate delle funzioni elementari con dimostrazione per alcune di esse; algebra delle derivate (regole di calcolo); algebra delle derivate (regole di calcolo); derivata di una funzione composta; derivata della funzione inversa e significato geometrico; continuità e derivabilità; punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi.

Ottimizzazione: punti di massimo e di minimo; teorema di Fermat; tipi di punti a derivata nulla.

 

LEZIONE 22 OTTOBRE

Derivata e ottimizzazione: teorema di Lagrange; interpretazione e controesempi del teorema di Lagrange; teorema di Rolle; teorema di Cauchy; test di monotonia.

Teorema di De L’Hospital.

 

LEZIONE 23 OTTOBRE (3h)

Derivata di una funzione: definizioni di concavità e convessità; convessità e derivate; convessità e retta tangente; flesso.

Studio di funzione completo.

Derivata di una funzione: applicazioni del teorema di De L'Hospital e precauzioni d'uso; differenziale; Simbolo "o piccolo"; derivata seconda e curvatura; circonferenza che approssima localmente una funzione.

 

LEZIONE 9 NOVEMBRE MATTINA

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di monotonia.

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: definizione; verifica che siano i migliori approssimanti; resto secondo Peano.

 

LEZIONE 9 NOVEMBRE MATTINA

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: applicazione al calcolo dei limiti; proprietà degli “o piccolo”; resto secondo Lagrange; uso del resto secondo Lagrange per valutare l’errore di approssimazione.

 

LEZIONE 12 NOVEMBRE

Calcolo integrale: somme di Cauchy-Riemann; funzione integrabile; integrale; interpretazione geometrica; funzione continua integrabile; funzione monotona e limitata è integrabile; funzione definita da un numero finito di tratti integrabili è integrabile.

 

LEZIONE 13 NOVEMBRE (3h)

Calcolo integrale: primitive di una funzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; proprietà dell'integrale; teorema della media integrale; valore medio e valore efficace; integrazione per sostituzione; integrazione per parti; integrazione di funzioni razionali fratte; integrazione di funzioni discontinue; insiemi a misura nulla.

 

LEZIONE 19 NOVEMBRE

Calcolo integrale: funzione integrabile in senso improprio: definizione (funzione illimitata e dominio illimitato); integrale definito e indefinito; integrale convergente, divergente e inesistente; analisi di 1/x^a.

Funzione integrale: definizione; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e continuità della funzione integrale.

 

LEZIONE 20 NOVEMBRE (3h)

Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine (a variabili separabili; lineari).

 

LEZIONE 23 NOVEMBRE (MATTINA)

Serie: definizione; carattere della serie; condizione necessaria per la convergenza della serie; serie geometrica.

 

 

Testi degli esercizi (esercitazioni)

 

ESERCITAZIONE 1 (21 SETTEMBRE)

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ESERCITAZIONI 2 E 3 (28 SETTEMBRE MATTINA E POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONI 4 E 5 (12 OTTOBRE MATTINA E POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONI 6 E 7 (19 OTTOBRE MATTINA E POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONE 8 (26 OTTOBRE MATTINA)

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ESERCITAZIONE 9 (26 OTTOBRE POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONE 10 (30 OTTOBRE)

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ESERCITAZIONE 11 (16 NOVEMBRE MATTINA)

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ESERCITAZIONE 12 (16 NOVEMBRE POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONE 14 (23 NOVEMBRE POMERIGGIO)

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ESERCITAZIONE 15 (26 NOVEMBRE)

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ESERCITAZIONE 15 (27 NOVEMBRE 3h)

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ESERCITAZIONE 16 (30 NOVEMBRE MATTINA)

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ESERCITAZIONE 17 (30 NOVEMBRE POMERIGGIO)

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Programma del corso

 

1 - Insiemi Numerici

Richiami sui numeri naturali, interi, razionali. Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, formula di Newton per la potenza n-sima di un binomio(*). Numeri reali. Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi.

Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso(*). Teorema fondamentale dell’Algebra.

 

2 - Funzioni reali di una variabile reale

 

2.1 Generalità

Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione.

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione composta, funzione inversa.

Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche.

Funzioni elementari.

 

2.2 Limiti

Definizione di limite di successione. Unicità del limite(*). Teorema della permanenza del segno. Limitatezza di una successione convergente(*). Teorema del confronto(*).

Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Esistenza del limite per successioni monotone(*). Il numero e.

Limiti notevoli (* dimostrazione di lim n ®¥ (sin 1/n)/(1/n)=1).

Successioni infinite, infinitesime e loro confronto: uso dei simboli di “asintotico” e di “o piccolo”.

Limiti di funzioni: definizione per successioni e definizione topologica. Teoremi di unicità del limite e del confronto. Algebra dei limiti, limite di funzione composta.

 

2.3 Continuità

Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione.

Discontinuità delle funzione monotone.

Funzioni continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri (*) e dei valori intermedi. Asintoti. Continuità di funzione inversa.

 

2.4 Calcolo differenziale

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Derivabilità e continuità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*), teorema di Lagrange (*). Conseguenze del teorema di Lagrange (*). Teorema di De L’Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano(*) e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Applicazione della formula di Taylor al riconoscimento dei punti di massimo e minimo locale. Derivabilità di funzione inversa. Studio del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.

 

2.5 Calcolo integrale

Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I (*) e II (*) teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane.

 

2.6 Integrali generalizzati

Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni allo studio delle funzioni integrali.

 

3– Serie

 

3.1 Serie numeriche

Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto(*) (e del confronto asintotico), del rapporto, della radice(*). Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta(*). Criterio di Leibnitz per le serie a termini di segno alterno.

 

N.B. Dei teoremi segnati con (*) è richiesta la dimostrazione.

 

 

Temi d’esame

 

ESAMI ANNO ACCADEMICO 2018/19

Prima prova in itinere: DOWNLOAD

 

ESAMI ANNO ACCADEMICO 2017/18

Prima prova in itinere: DOWNLOAD

Seconda prova in itinere: DOWNLOAD

Appello di febbraio: DOWNLOAD

Appello di giugno: DOWNLOAD

Appello di luglio: DOWNLOAD

Appello di agosto/settembre: DOWNLOAD

 

Sono accessibili sul sito beep della Prof. Maluta (anche per chi non è iscritto al suo corso) temi d’esame degli anni precedenti. Si vedano in particolare le cartelle:

- Temi d’esame (2013_14)

- temi d’esame AA precedenti

I docenti dei diversi scaglioni alfabetici preparano insieme l’esame; quindi i temi d’esame sopra indicati danno un’idea della tipologia di esercizi e domande.

 

 

Testi consigliati

 

Testo:

Il testo di riferimento è:

Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare)

Zanichelli Editore; anno 2014; ISBN 9788808254214. LINK

 

Eserciziario:

L’eserciziario di riferimento è:

Salsa, Squellati

Esercizi di Analisi Matematica 1

Zanichelli editore; anno 2011; ISBN: 9788808218940. LINK

 

Tuttavia, altri testi adottati al Politecnico vanno ugualmente bene.

 

 

Ricevimento studenti

 

Il ricevimento avviene su appuntamento, contattando per mail il docente.

Il ricevimento si terrà sia presso l'ufficio del docente (CNR-IMATI, Via Corti 12) che presso il campus Bovisa.

 

 

Modalità e regolamento esami

 

L’esame può essere sostenuto “in itinere” oppure presentandosi a uno degli appelli d’esame previsti in febbraio, luglio e settembre. Per le prove in itinere e per gli appelli d’esame è obbligatoria l’iscrizione.

 

Lo studente deve iscriversi ad ogni appello che intende sostenere e questo avviene esclusivamente tramite segreteria e servizi on line.

Se per qualsiasi motivo lo studente si iscrive tardivamente (o non risulta iscritto), potrà essere ammesso a sostenere la prova scritta solo se ci sarà posto in aula. Pertanto ogni studente è invitato a iscriversi con largo anticipo e a controllare qualche giorno prima dell'appello l'effettiva iscrizione.

 

Gli studenti con OFA totali non potranno partecipare né alle prove in itinere né agli appelli d’esame prima di aver superato il test di ammissione nelle apposite prove di recupero.

 

L’esame “in itinere” consiste di due prove scritte, la prima nel periodo di interruzione delle lezioni a novembre, la seconda dopo la fine dei corsi, e di un’eventuale prova orale da sostenersi dopo la II prova in itinere.

L’esame “finale” consiste di una prova scritta, su tutto il programma del corso, e di una eventuale prova orale.

 

In ogni prova scritta verranno proposti sei quesiti a risposta multipla (Parte A), alcuni esercizi da svolgere in dettaglio (Parte B) e alcune domande di teoria (Parte T).

 

Non è consentito consultare testi, né usare calcolatrici, né fogli portati da fuori.

E’ consentito usare il foglio con le formule di McLaurin scaricabile qui: DOWNLOAD

Questo foglio verrà proiettato in aula durante lo svolgimento dell’esame per permetterne la visione agli studenti, o in alternativa ne saranno stampate alcune copie distribuite su richiesta dello studente.

 

Ogni prova scritta verrà valutata in trentesimi, distribuiti nel modo seguente, con soglie come precisato per la correzione delle altre parti del compito:

Parte A: punteggio 6/30; soglia minima per passare la prova 2/30

Parte B: punteggio 17/30; soglia minima per passare la prova 8/30

Parte T: punteggio 10/30: soglia minima per passare la prova 4/30

Totale: 33/30

 

Nella parte A, ogni risposta giusta ad un quesito vale 1 punto, ogni risposta errata -1/4 di punto, ogni risposta in bianco vale 0 punti.

 

NB: per la prima prova in itinere, la soglia somma di 14/30 dà l’ammissione alla seconda prova. Il voto finale (media dei due voti) deve essere comunque ≥ 18 perché la prova sia sufficiente.

 

Dopo la seconda prova in itinere o qualsiasi appello, si possono scegliere strade diverse in base al voto ottenuto:

 

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) ACCETTATO: non fare nulla, il voto verrà registrato automaticamente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) RIFIUTATO: comunicarlo via mail al docente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI ORALE: presentarsi all’orale, registrando la partecipazione

(si ricorda che l’orale è facoltativo e che in caso di orale il voto finale è la media tra voto dello scritto e dell’orale, quindi se l’orale va peggio dello scritto il voto si abbassa)

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) SENZA RICHIESTA DI VISIONE: non fare nulla

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- ESAME DA COMPLETARE (“ORALE”): lo studente deve necessariamente sostenere un colloquio per ottenere la sufficienza; la mancata partecipazione alla visione dei compiti per sostenere l’orale equivale ad un voto insufficiente.

 

NB: non è possibile sostenere orali integrativi per arrivare alla sufficienza nel caso di voto insufficiente, a meno che non sia indicato “ORALE”.

 

Il candidato deve presentarsi ad ogni prova munito di un documento di identità con fotografia valido.

Non è consentito l’uso della calcolatrice o di qualsiasi strumento elettronico.

All’ingresso in aula gli studenti lasceranno tutto a bordo aula e porteranno con sé solo il materiale per scrivere (senza astuccio) e un documento di riconoscimento con la fotografia.

Non sono ammessi fogli; sia i fogli di brutta che quelli da riconsegnare verranno forniti in aula.

 

Ci si può ritirare in qualsiasi momento. Uno studente ritirato è come se non fosse mai venuto a sostenere l’esame, non ci sono penalità di alcun tipo e si può partecipare a qualsiasi appello.

 

Anche se superfluo, si ricorda che chiunque venga sorpreso a copiare o con bigliettini verrà allontanato dall’aula e la prova annullata.

 

Si ricorda che dei teoremi indicati con (*) nel programma è richiesta anche la dimostrazione.