ANALISI E GEOMETRIA 1 (081360)

Corsi di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, Energetica, Meccanica (scaglione STR-Z)

Anno Accademico 2017/18

 

 

Prof. Ettore Lanzarone

Esercitatori Barbara Balossi e Cecily Castelnovo

 

Avvisi del corso

 

Variazioni rispetto al calendario:

·         21 novembre: la lezione durerà fino alle 18:00 invece che fino alle 17:00 per recuperare le 2 ore saltate in seguito al crollo del soffitto in LM1. Nella terza ora farò la visione delle prove in itinere (parte di teoria)

·         23 novembre: lezione invece che esercitazione nell’aula della Prof. Balossi.

·         26 novembre: esercitazione a squadre riunite invece che lezione.

·         27 novembre: esercitazione al pomeriggio; la mattina visione delle prove in itinere (parte di esercizi – dalle 8:30 alle 9:00 per chi aveva la prova A, a partire dalle 9:00 per chi aveva la prova B).

·         28 novembre: esercitazione a squadre riunite invece che lezione.

 

Prima prova in itinere:

·         Voti completi: download

·         Per i voti con *** è possibile l’integrazione della parte sui numeri complessi come spiegato a lezione, che avrà luogo il giorno 5 dicembre a valle della lezione. Se si partecipa si sovrascrive interamente il voto dell’esercizio 1 con quello che si otterrà; altrimenti si mantiene il voto così com’è. Invito gli studenti coinvolti a comunicarmi se vogliono fare o meno l’integrazione rispondendo sì o no su questo link.

 

Seconda prova in itinere:

·         14 gennaio 2019 alle 15:00 (iscrizione obbligatoria entro 9 gennaio 2018, riservata a chi ha sostenuto e passato la prima prova in itinere o a chi ha solo la parte di geometria per un numero di crediti ridotto)

 

 

Servizio di Tutorato

 

Il Politecnico prevede un servizio di tutorato per ogni corso.

Appena verrà attivato, verranno riportate qui le informazioni.

 

 

Orario

 

Orario ufficiale del corso: VISUALIZZA

 

Per le esercitazioni a due squadre:

Prof. Balossi: studenti con cognomi che iniziano per S-U

Prof. Castelnovo: studenti con cognomi che iniziano con V-Z

 

 

Programma svolto (lezioni)

 

LEZIONE 17 SETTEMBRE

Insiemistica: insieme ed elemento; uguaglianza e inclusione; quantificatori; insieme vuoto; insieme delle parti; insiemi numerici; operazioni sugli insiemi e prodotto cartesiano; proprietà delle operazioni e leggi di De Morgan.

Logica: predicati ed enunciati; implicazione universale; dimostrazioni e controesempi.

 

LEZIONE 18 SETTEMBRE

Logica: proposizione controinversa; dimostrazione per assurdo; irrazionalità di radice di 2; principio di induzione; applicazione del principio di induzione alla disuguaglianza di Bernoulli.

Fattoriale, coefficiente binomiale e Formula di Newton. Campo ordinato.

 

LEZIONE 19 SETTEMBRE

Inadeguatezza di Q a coprire la retta. Insiemi limitati superiormente e inferiormente; estremo superiore e inferiore; massimo e minimo. Proprietà dell'estremo superiore; definizione assiomatica di R.

Intervalli. Insiemi infiniti; cardinalità; numerabilità; potenza del continuo.

Successioni: definizione: successione limitata; proprietà valida definitivamente.

 

LEZIONE 24 SETTEMBRE

Successioni: successioni convergenti; limite di una successione e unicità del limite; successioni divergenti e irregolari. Infinitesimi e infiniti. Successioni convergenti per eccesso e difetto. Successioni monotone: teorema di convergenza delle successioni monotone limitate; divergenza delle soluzioni monotone e illimitate. Algebra dei limiti. Teorema di permanenza del segno (nelle due forme).

 

LEZIONE 26 SETTEMBRE

Teorema del confronto. Esempi di calcolo; limite del rapporto di polinomi. Aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito; forme di indecisione. Successione di (1+1/n)^n e costante di Nepero; altri limiti a partire dal limite notevole della costante di Nepero.

 

LEZIONE 1 OTTOBRE

Confronti di infiniti e infinitesimi; successioni asintotiche e relazione di asintotico. Gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali, fattoriale); criterio del rapporto.

Numeri complessi: motivazione e definizione; forma algebrica; piano di Gauss e rappresentazione grafica di un numero complesso; somma e sottrazione tra numeri complessi; prodotto tra numeri complessi; C come campo non ordinato; complesso coniugato, razionalizzazione.

 

LEZIONE 3 OTTOBRE

Numeri complessi: modulo e relative proprietà; esempi di equazione con i numeri complessi; moltiplicazione e divisione per i; forma trigonometrica; passaggio da forma algebrica a trigonometrica e viceversa; formula di De Moivre per prodotto e divisione; potenza.

 

LEZIONE 8 OTTOBRE

Numeri complessi: radici n-esime; equazioni algebriche e teorema; fondamentale dell'algebra; formula di Eulero; forma esponenziale; identità di Eulero.

Funzioni reali di variabile reale: definizione; dominio; grafico di funzione; funzioni limitate, simmetriche, periodiche.

 

LEZIONE 9 OTTOBRE

Funzioni reali di variabile reale: funzioni monotone; funzioni composte; funzioni inverse. Limiti: definizione successionale; teorema di unicità.

Limiti: asintoti orizzontali, verticali e obliqui; continuità.

 

LEZIONE 10 OTTOBRE

Limiti: tipi di discontinuità; non esistenza del limite; definizione topologica; limiti notevoli; teorema del confronto; teorema di permanenza del segno (nelle due forme); teorema di permanenza del segno per funzioni continue; asintotici e loro significato grafico.

 

LEZIONE 15 OTTOBRE

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi; teorema di monotonia; continuità e invertibilità.

Derivata di una funzione: definizione; significato geometrico e fisico.

 

LEZIONE 16 OTTOBRE

Derivata di una funzione: derivate delle funzioni elementari con dimostrazione per alcune di esse; algebra delle derivate (regole di calcolo); derivata di una funzione composta; derivata della funzione inversa e significato geometrico; continuità e derivabilità; punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi.

 

LEZIONE 17 OTTOBRE

Ottimizzazione: punti di massimo e di minimo; teorema di Fermat; tipi di punti a derivata nulla.

Derivata e ottimizzazione: teorema di Lagrange; interpretazione e controesempi del teorema di Lagrange; teorema di Rolle; teorema di Cauchy; test di monotonia.

 

LEZIONE 22 OTTOBRE

Teorema di De L’Hospital.

Derivata di una funzione: definizioni di concavità e convessità; convessità e derivate; convessità e retta tangente; flesso.

Studio di funzione completo.

 

LEZIONE 23 OTTOBRE

Derivata di una funzione: applicazioni del teorema di De L’Hospital e precauzioni d’uso; differenziale; simbolo “o piccolo”; derivata seconda e curvatura; circonferenza che approssima localmente una funzione.

 

LEZIONE 24 OTTOBRE

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: definizione; verifica che siano i migliori approssimanti; resto secondo Peano; applicazione al calcolo dei limiti.

 

LEZIONE 12 NOVEMBRE

Polinomi di Mc Laurin e di Taylor: proprietà degli “o piccolo”; resto secondo Lagrange; uso del resto secondo Lagrange per valutare l’errore di approssimazione.

Proprietà delle funzioni continue e/o monotone: teorema di monotonia.

Calcolo integrale: somme di Cauchy-Riemann; funzione integrabile; integrale; interpretazione geometrica.

 

LEZIONE 13 NOVEMBRE

Calcolo integrale: funzione continua integrabile; funzione monotona e limitata è integrabile; funzione definita da un numero finito di tratti integrabili è integrabile; primitiva di una funzione; teorema fondamentale del calcolo integrale; proprietà dell'integrale; teorema della media integrale; valore medio e valore efficace; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.

 

LEZIONE 14 NOVEMBRE (3h)

Calcolo integrale: integrazione di funzioni razionali fratte; insiemi a misura nulla; integrazione di funzioni discontinue; funzione integrabile in senso improprio: definizione (funzione illimitata e dominio illimitato); integrale convergente, divergente e inesistente; analisi di 1/x^a.

 

LEZIONE 16 NOVEMBRE

Calcolo integrale: integrale definito e indefinito.

Funzione integrale: definizione; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e continuità della funzione integrale.

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: problema di Cauchy; integrale generale e particolare; risoluzione delle equazioni a variabili separabili.

 

LEZIONE 19 NOVEMBRE

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: risoluzione delle equazioni lineari col metodo di variazione delle costanti; considerazioni qualitative sulla continuità dell’integrale.

Vettori: definizione; modulo di un vettore; operazioni sui vettori (somma, sottrazione, prodotto tra scalare e vettore) e loro proprietà; versore.

 

LEZIONE 20 NOVEMBRE

Vettori: vettori nel piano e nello spazio; versori; rappresentazione cartesiana dei vettori.

Combinazione lineare di vettori; dipendenza e indipendenza lineare; verifica della dipendenza/indipendenza lineare; espressione di un qualsiasi vettore dello spazio come combinazione lineare di 3 vettori linearmente indipendenti.

 

LEZIONE 21 NOVEMBRE (3h)

Prodotto scalare e prodotto vettoriale e loro proprietà; proiezione di un vettore; prodotto misto; significato geometrico del prodotto vettoriale e del prodotto misto.

Retta: definizione; forma cartesiana e parametrica; parametri e coseni direttori; conversione tra forma parametrica e cartesiana; rette parallele e perpendicolari.

 

LEZIONE 23 NOVEMBRE

Piano: definizione; forma cartesiana e parametrica; parametri direttori; piani paralleli e ortogonali; retta di intersezione tra piani. Distanze: punto-piano; punto-retta.

 

 

Testi degli esercizi (esercitazioni)

 

ESERCITAZIONE 1 (18 SETTEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 2 (21 SETTEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 3 (28 SETTEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 4 (2 OTTOBRE)

Squadre riunite DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 5 (2 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 6 (5 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 7 (9 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 8 (12 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 9 (16 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 10 (19 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 11 (23 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 12 (26 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 13 (30 OTTOBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 14 (31 OTTOBRE)

Squadre riunite DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 15 (9 NOVEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 16 (13 NOVEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 17 (20 NOVEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 18 (26 NOVEMBRE)

Squadre riunite DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 19 (27 NOVEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 20 (28 NOVEMBRE)

Squadre riunite DOWNLOAD

 

ESERCITAZIONE 21 (30 NOVEMBRE)

Prof. Balossi DOWNLOAD – Prof. Castelnovo DOWNLOAD

 

 

Programma del corso

 

1. Numeri reali e complessi

Numeri razionali e numeri reali. Irrazionalità di radice di 2. Maggiorante, minorante, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto, formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.

 

2. Limiti e continuità

Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni composte, funzioni monotòne, funzioni inverse. Successioni. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e del confronto. Teorema di convergenza di successioni monotòne. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi ed infiniti e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Funzioni monotòne e loro principali proprietà.

 

3. Calcolo differenziale

Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra delle derivate. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l'Hospital. Test di monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.

 

4. Calcolo integrale

Integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale. Funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrali indefiniti. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza.

 

5. Equazioni differenziali ordinarie

Integrale generale delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine.

 

6. Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio

Lo spazio euclideo Rn. Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Rn. Prodotto vettoriale e area, prodotto misto e volume nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio. Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani. Equazioni di circonferenze nel piano e di sfere nello spazio.

 

7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea

Limiti e derivate di funzioni vettoriali di una variabile. Curve nel piano e nello spazio: forma parametrica, lunghezza di una curva, parametro d’arco. Integrali di linea di prima specie. Versori tangente, normale, binormale (terna intrinseca) e piani coordinati. Curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore. Applicazioni fisiche.

 

TEOREMI RICHIESTI CON DIMOSTRAZIONE:

 

1 Numeri reali e complessi: irrazionalità di radice di 2, formula di De Moivre, radici n-sime di un numero complesso.

 

2 Limiti e continuità: unicità del limite, limiti di successioni monotone, permanenza del segno, continuità della funzione composta, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema del confronto.

 

3 Calcolo differenziale: continuità delle funzioni derivabili, algebra delle derivate (somma e prodotto), teorema di Fermat, test di monotonia e determinazione della natura dei punti stazionari, teorema di Lagrange, teorema di Taylor con resto secondo Peano.

 

4 Calcolo integrale: formula di integrazione per parti, formula di integrazione per sostituzione, teorema della media integrale, teorema e formula fondamentale del calcolo integrale, continuità della funzione integrale.

 

5 Equazioni differenziali: Soluzione generale di un’equazione lineare del primo ordine in forma normale (caso omogeneo e caso non-omogeneo).

 

6 Vettori ed elementi di geometria analitica del piano e dello spazio: disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Rn, formula della distanza tra un punto e un piano.

 

7 Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea: lunghezza di una curva regolare.

 

 

Temi d’esame

 

Esami anno accademico 2018/19

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

 

Esami anno accademico 2017/18

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Giugno: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Luglio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Settembre: DOWNLOAD

 

Esami anno accademico 2016/17

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Luglio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Settembre: DOWNLOAD

 

Esami anno accademico 2015/16

Soluzioni Prima Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Seconda Prova in Itinere: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Febbraio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Luglio: DOWNLOAD

Soluzioni Appello Settembre: DOWNLOAD

 

Altri temi d’esame degli anni precedenti

Sono disponibili alcuni temi d’esame degli anni passati: DOWNLOAD

 

 

Testi consigliati

 

Testo:

Il testo di riferimento è:

Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi matematica 1 (con elementi di geometria e algebra lineare)

Zanichelli Editore; anno 2014; ISBN 9788808254214. LINK

 

Eserciziario:

L’eserciziario di riferimento è:

Salsa, Squellati

Esercizi di Analisi Matematica 1

Zanichelli editore; anno 2011; ISBN: 9788808218940. LINK

 

Tuttavia, altri testi adottati al Politecnico vanno ugualmente bene.

 

 

Ricevimento studenti

 

Il ricevimento avviene su appuntamento, contattando per mail il docente.

Il ricevimento si terrà sia presso l'ufficio del docente (CNR-IMATI, Via Corti 12) che presso il campus Bovisa.

 

 

Modalità e regolamento esami

 

Sono previsti 4 appelli d'esame, nelle date stabilite dal calendario accademico (una in gennaio-febbraio, due in giugno-luglio, una a settembre).

Sono inoltre previste 2 prove in itinere (una nell'interruzione di metà corso e l'altra in gennaio-febbraio).

L'esame può essere superato sostenendo con votazione sufficiente entrambe le prove in itinere oppure uno degli appelli. Solo chi supera la prima prova in itinere può sostenere la seconda prova.

 

Lo studente deve iscriversi ad ogni appello che intende sostenere e questo avviene esclusivamente tramite segreteria e servizi on line.

Se per qualsiasi motivo lo studente si iscrive tardivamente (o non risulta iscritto), potrà essere ammesso a sostenere la prova scritta solo se ci sarà posto in aula. Pertanto ogni studente è invitato a iscriversi con largo anticipo e a controllare qualche giorno prima dell'appello l'effettiva iscrizione.

 

Gli studenti con OFA totali non potranno partecipare né alle prove in itinere né agli appelli d’esame prima di aver superato il test di ammissione nelle apposite prove di recupero.

 

Ciascuna prova in itinere si compone di due parti:

- Prima parte: una domanda alla quale rispondere in modo articolato (per esempio: enunciare e dimostrare un teorema, scrivere una definizione, fornire un esempio o un controesempio).

- Seconda parte: due esercizi.

 

Ciascun appello si compone di due parti:

- Prima parte: due domande alle quali rispondere in modo articolato (per esempio: vedi sopra).

- Seconda parte: quattro esercizi.

 

La prima parte svolta viene ritirata prima dello svolgimento della seconda parte.

 

I punteggi sono così suddivisi:

Prima parte: 4/16 (prove in itinere) oppure 8/32 (appelli).

Seconda parte: 12/16 (prove in itinere) oppure 24/32 (appelli).

 

La prova risulterà sufficiente se il voto della prima parte sarà pari ad almeno 2 (prove in itinere) o 4 (appelli) e quello della seconda parte pari ad almeno 7 (prove in itinere) o 14 (appelli).

 

Dopo la seconda prova in itinere o qualsiasi appello, si possono scegliere strade diverse in base al voto ottenuto:

 

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) ACCETTATO: non fare nulla, il voto verrà registrato automaticamente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) RIFIUTATO: comunicarlo via mail al docente

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- VOTO SUFFICIENTE (≥ 18) E RICHIESTA DI ORALE: presentarsi all’orale, registrando la partecipazione

(si ricorda che l’orale è facoltativo e che in caso di orale il voto finale è la media tra voto dello scritto e dell’orale, quindi se l’orale va peggio dello scritto il voto si abbassa)

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) SENZA RICHIESTA DI VISIONE: non fare nulla

- VOTO INSUFFICIENTE (< 18) E RICHIESTA DI VISIONARE IL COMPITO: presentarsi alla visione compiti registrando la partecipazione

- ESAME DA COMPLETARE (“ORALE”): lo studente deve necessariamente sostenere un colloquio per ottenere la sufficienza; la mancata partecipazione alla visione dei compiti per sostenere l’orale equivale ad un voto insufficiente.

 

NB: non è possibile sostenere orali integrativi per arrivare alla sufficienza nel caso di voto insufficiente, a meno che non sia indicato “ORALE”.

 

Il candidato deve presentarsi ad ogni prova munito di un documento di identità con fotografia valido.

Non è consentito l’uso della calcolatrice o di qualsiasi strumento elettronico.

All’ingresso in aula gli studenti lasceranno tutto a bordo aula e porteranno con se solo il materiale per scrivere (senza astuccio) e un documento di riconoscimento con la fotografia.

Non sono ammessi fogli; sia i fogli di brutta che quelli da riconsegnare verranno forniti in aula.

 

Ci si può ritirare in qualsiasi momento. Uno studente ritirato è come se non fosse mai venuto a sostenere l’esame, non ci sono penalità di alcun tipo e si può partecipare a qualsiasi appello.

 

Anche se superfluo, si ricorda che chiunque venga sorpreso a copiare o con bigliettini verrà allontanato dall’aula e la prova annullata.

 

Si ricorda che dei teoremi indicati nel programma con dimostrazione è richiesta anche la dimostrazione.